Question

Докажите, что неравенство: 2(x-y)^2+2(x-1)^2+2y+1 < 0 НЕ имеет решений

Answer 1

Для доказательства покажем, что правая часть всегда больше 0.

Для этого раскроем скобки и выделим полные квадраты.

$2 {(x - y)}^{2} + 2 {(x - 1)}^{2} + 2y + 1 = 2( {x}^{2} - 2xy + {y}^{2} ) + 2( {x}^{2} - 2x + 1) + 2y + 1 = 2 {x}^{2} - 4xy + 2 {y}^{2} + 2{x}^{2} - 4x + 2 + 2y + 1 = 4 {x}^{2} - 4xy + 2 {y}^{2} - 4x + 2y + 3$

Далее распишем полученной выражение следующим образом:

$4 {x}^{2} - 2xy - 2x - 2xy + {y}^{2} + y + y - 2x + y + 1 + {y}^{2} + 2$

начинаем выносить за скобки

$- 2x( - 2x + y + 1) + y( - 2x + y + 1) - 2x + y + 1 + {y}^{2} + 2 = ( - 2x + y + 1)( - 2x + y + 1) + {y}^{2} + 2 = {( - 2x + y + 1)}^{2} + {y}^{2} + 2$

Как можем увидеть полученное выражение всегда больше нуля, следовательно, данное неравномерно никогда не выполняется