Question

Решите пожалуйста задачу и приведите полное решение. Даю последние 10 баллов

Answer 1

$x^2-x-a^3-1=0$.

Уравнение - квадратное вида $ax^2 + bx + c=0$. Здесь $a=1, b=-1, c=-a^3-1$.

Чтобы уравнение имело корни нужно чтобы дискриминант был неотрицательным: $D\geq 0$.

$D=b^2-4ac=1-4(-a^3-1)=4a^3+5 \geq 0$

$4a^3\geq -5;\\\\a^3\geq -\frac{5}{4};\\\\ a\geq \sqrt[3]{\frac{-5}{4} } =-\frac{\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{\sqrt[3]{10}}{2}$

Если дискриминант равен 0 ( при $a=-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$), то уравнение имеет единственное решение $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot1}=0.5$. Поскольку 0,5 > 0, значение параметра $a=-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$ пойдет в ответ.

Если дискриминант  положителен  (при $a>-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$), то уравнение имеет 2 корня. Расписывать их необязательно.

Чтобы ровно один корень из двух был положителен необходимо и достаточно того, чтобы произведение корней было отрицательным.

Если $x_1,x_2$ - корни уравнения, то по теореме Виета $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-a^3-1}{1}=-a^3-1<0;$

$a^3>-1\Rightarrow a>-1$

Нужно учесть, что должно также выполняться условие $a>-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$, так как в противном случае вещественных корней уравнение иметь не будет. Промежуток $(-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}; +\infty)$ включает в себя промежуток $(-1; +\infty)$, поэтому все значения параметра $a>-1$ также пойдут в ответ.

ОТВЕТ можно записать в двух видах: при $a=-\frac{\sqrt[3]{10}}{2}$ и $a>-1$;    при $a\in$ {$-\frac{\sqrt[3]{10}}{2}$}$\cup(-1;+\infty)$.