Question

131 ПОМОГИТЕ УМОЛЯЮ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЕ​

Answer 1

$\left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^{x} + \left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \right)^{x} = 10$

Заметим следующую особенность:

$\left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^{x} \cdot \left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \right)^{x} = \left(\sqrt{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} \right)^{x}=$

$= \left(25 + 10\sqrt{6} - 10\sqrt{6} - 24 \right)^{x}= 1^{x} = 1$

Сделаем замену: $\left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^{x} = t, \ t > 0$

Тогда $\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \right)^{x} = \dfrac{1}{\left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^{x}} = \dfrac{1}{t}$

Характеристическое уравнение:

$t + \dfrac{1}{t} = 10$

$t^{2} - 10t + 1 = 0$

$D = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 96$

$t_{1,2} = \dfrac{10 \pm \sqrt{96}}{2} =\dfrac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6} = \displaystyle \left [ {{t_{1} = 5 - 2\sqrt{6}} \atop {t_{2} = 5 + 2\sqrt{6}}} \right.$

Обратная замена:

$1) \ \left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^{x} = 5 - 2\sqrt{6}$

$\left(5 - 2\sqrt{6} \right)^{\frac{1}{2} x} = 5 - 2\sqrt{6}$

$\dfrac{1}{2} x = 1$

$x = 2$

$2) \ \left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^{x} = 5 + 2\sqrt{6}$

$\left(5 - 2\sqrt{6}} \right)^{\frac{1}{2} x} = \left(\dfrac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \right)^{-1}$

$\left(5 - 2\sqrt{6}} \right)^{\frac{1}{2} x} = \left(5 - 2\sqrt{6} \right)^{-1}$

$\dfrac{1}{2} x = -1$

$x = -2$

Наибольший корень уравнения $x = 2$

Ответ: $\text{A}) \ 2$

Answer 2

Заметим, что $\sqrt{5-2\sqrt6}\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt{(5-2\sqrt6)(5+2\sqrt6)}=\sqrt{5^2-(2\sqrt6)^2}=\sqrt{25-24}=1$

Тогда $(\sqrt{5+2\sqrt6})^x=\frac{1}{(\sqrt{5-2\sqrt6})^x}$

Сделав замену $(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=t>0$, приходим к уравнению $t+\frac{1}{t}=10$

$t^2-10t+1=0$

$D_1=(\frac{-10}{2})^2-1\cdot1=25-1=24=(2{\sqrt6})^2$

$t_{1,2}=\frac{-\frac{-10}{2}\pm2\sqrt6 }{1}=5\pm2\sqrt6$

Итого, или $(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=5+2\sqrt6$ , или $(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=5-2\sqrt6$,

или $((5-2\sqrt6)^{0.5})^x=(5-2\sqrt6)^{-1},$ или $((5-2\sqrt6)^{0.5})^x=(5+2\sqrt6)^{1},$

или 0,5x = -1, или 0,5x = 1

или x = -2, или x=2

Больший корень, очевидно, x = 2.

ОТВЕТ: А) 2