Question

помогите решить пожалуйста)
Найти сумму корней уравнения cos3x⋅cos6x=cos4x⋅cos7x на промежутке [π/3;π/2]
​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{9\pi}{10}$

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $2\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}=\cos{(\alpha -\beta)}+\cos{(\alpha +\beta)}$

$\cos{3x}\cdot\cos{6x}=\cos{4x}\cdot\cos{7x}|\cdot 2\\2\cos{3x}\cdot\cos{6x}=2\cos{4x}\cdot\cos{7x}\\\cos{3x}+\cos{9x}=\cos{3x}+\cos{11x}\\\cos{9x}=\cos{11x}\\\displaystyle \left [ {{9x=11x+2\pi n, n\in\mathbb{Z}} \atop {9x=-11x+2\pi k, k\in\mathbb{Z}}} \right. \left [ {{2x=2\pi n, n\in\mathbb{Z}} \atop {20x=2\pi k, k\in\mathbb{Z}}} \right. \left [ {{x=\pi n, n\in\mathbb{Z}} \atop {x=\frac{\pi k}{10}, k\in\mathbb{Z}}} \right.$

В первой серии корней на указанном промежутке нет: при n = 0 x = 0 < π/3, при n = 1 x = π > π/2.

Отберём корни из второй серии:

$\dfrac{\pi}{3}\leq \dfrac{\pi k}{10}\leq \dfrac{\pi}{2}\\3\dfrac{1}{3}\leq k\leq 5\Rightarrow k=4;5\Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{10};\dfrac{5\pi}{10}\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{9\pi}{10}$

Answer 2

Ответ:0,9pi

Пошаговое объяснение: