Question

Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если: - у многоугольника 8 сторон и R= 4 см (если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1). S= ⋅ −−−−−√ см2; - у многоугольника 9 сторон и R= 4 см (ответ округли до целых). S= см2.

Answer 1

Ответ:

$1) 32\sqrt{2}$ см²; $2) 46$ см².

Объяснение:

$1)$ у многоугольника $8$ сторон и $R = 4$ см.

• Число сторон в многоугольнике равно числу углов в этом многоугольнике.

$\Rightarrow$ данный многоугольник - восьмиугольный.

Обозначим данный восьмиугольник буквами $ABCDE F G H$.

Около восьмиугольника $ABCDE F G H$ описана окружность с центром в точке $O$, по условию.

Проведём диагонали $AE, BF, CG, DH.$.

$AO = OD = CO = OE = BO = OF,$ так как они радиусы описанной около шестиугольника окружности.

• Диагонали правильного восьмиугольника делят его на $8$ равных равнобедренных треугольников.

$\Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOE = \triangle EOF = \triangle FOG = \triangle GOH$ (а они ещё и равнобедренные).

$\Rightarrow$ $AO = OB = OC = OD = OE = OF = OG = OH,$ по свойству равнобедренного треугольника. Также эти стороны - радиусы описанной около данного восьмиугольника окружности.

$S\triangle AOB = \dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot OB \cdot sin(AOB) = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin(45^{\circ}) = 2 \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} = 4\sqrt{2}$см²

$\Rightarrow S$ восьмиугольника =  $S \triangle AOB\cdot 8 = 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

$2)$ у многоугольника $9$ сторон и $R = 4$ см.

• Число сторон в многоугольнике равно числу углов в этом многоугольнике.

$\Rightarrow$ данный многоугольник - девятиугольный.

Обозначим данный девятиугольник буквами $ABCDE F G H R$.

Около девятиугольника $ABCD E F G H R$ описана окружность с центром в точке $O.$

Соединим центр окружности с вершинами данного девятиугольника.

Отрезки $OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, OR$ - радиусы описанной около девятиугольника окружности, поэтому они равны.

Итак, в данном девятиугольнике 9 равнобедренных равных треугольников:

$\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOE, \triangle EOF, \triangle FOG, \triangle GOH, \triangle HOR, \triangle ROA.$

$BO = OA = 4$ см (они радиусы описанной окружности).

В окружности всего $360^{\circ}.$

Тогда $\angle BOA = 360^{\circ} : 9.$

$S \triangle AOB = \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{9} ). \Rightarrow S$ девятиугольника = $9 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{9} )=72 \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{9} )= 72 \cdot sin(40^{\circ}) \approx 46,28071 \approx 46$см²