Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА! ОТДАЮ ПОСЛЕДНИЕ БАЛЛЫ!

В уравнении 19 получается 2 решения:
х=-arctg4+пn
x=п/3+пn

Как понять, принадлежит ли какой-нибудь корень из первого решения (с арктангенсом) отрезку [п/3; 2п/3]

Answer 1

Арктангенс 4 явно больше чем пи/3, потому что тангенс пи/3 это только корень из трех. Ну и как любой арктангенс, он меньше чем пи/2

Значит число "пи-arctg4" лежит между пи/2 и 2пи/3, и разумеется, принадлежит указанному отрезку.

Answer 2

Ответ:

$x=-arctg4+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\n=1:\ \ x=-arctg4+\pi \in \Big[\, \dfrac{\pi}{3}\, ;\, \dfrac{2\pi}{3} \Big]\\\\\\-arctg4+\pi \approx -76^\circ +180^\circ =104^\circ\in [\, 60^\circ \, ;\, 120^\circ \, ]\\\\\\\star \ \ arctg\sqrt3=60^\circ \ \ \to \ \ \sqrt3<4\ \ \Rightarrow \ \ arctg\sqrt3<arctg4\ \ \Rightarrow \ \ arctg4>60^\circ \ ,\\\\-\dfrac{\pi}{2}<arctgx<\dfrac{\pi}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ 60^\circ <arctg4<90^\circ\ \ \Rightarrow \ \ -90^\circ <-arctg4<-60^\circ \ ,$

$-90^\circ +180^\circ <-arctg4+180^\circ <-60^\circ +180^\circ \\\\90^\circ <-arctg4+180^\circ <120^\circ \ \ \Rightarrow \ \ \ (-arctg4+180^\circ )\in [\, 60^\circ \, ;\, 120^\circ \, ]$

Смотри рисунок.