Question

25^cosx +5^(3-2cosx)=30 Пожалуйста помогите решить

Answer 1

$25^{\cos x} + 5^{3 - 2\cos x} = 30$

$(5^{2})^{\cos x} + 5^{3} \cdot 5^{-2\cos x} = 30$

$5^{2\cos x} + \dfrac{125}{5^{2\cos x}} = 30$

Замена: $5^{2\cos x} = t, \ t > 0$

Характеристическое уравнение:

$t + \dfrac{125}{t} = 30$

$\dfrac{t^{2} - 30t + 125}{t} = 0$

$t^{2} - 30t + 125 = 0$

$t_{1} = 5; \ t_{2} = 25$

Обратная замена:

$1) \ 5^{2\cos x} = 5$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \dfrac{1}{2}$

$x = \pm \arccos \dfrac{1}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in Z$

$2) \ 5^{2\cos x} = 25$

$5^{2\cos x} = 5^{2}$

$2\cos x = 2$

$\cos x = 1$

$x = 2\pi k, \ k \in Z$

Ответ: $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \ x = 2\pi k, \ n \in Z, \ k \in Z$