Question

Может ли шестизначное число вида aaabbb быть квадратом натурального числа?( Цифры a и b необязательно различны)?

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Пусть такое число существует.

Заметим:

$\overline{aaabbb}=111000*a+111*b=111*(1000*a+b)=111*(999a+(a+b))=111*111*9a+111*(a+b)$

Т.е. оно делится на 111 = 3*37 - не квадрат натурального числа. Т.к. исходное число - квадрат некого натурального числа, то оно должно делиться на 3²*37²=111². Т.к. $111*111*9a\;\vdots\;111^2$, то должно выполняться условие $111*(a+b)\;\vdots\;111^2<=> (a+b)\;\vdots\;111$

Оценка: $1=1+0\leq a+b\leq 9+9=18$ - ни одно число из данного промежутка, очевидно, не кратно 111. Противоречие.

А значит такого числа не существует.