Question

На столі лежать n карток, перенумерованих числами 1, 2, 3, ..., n. Навмання беруть послідовно всі картки. Яка ймовірність того, що номери взятих карток утворюють зростаючу послідовність?​

Answer 1

Відповідь:

$\frac{1}{n!}$

Покрокове роз'яснення:

Простір елементарних подій (Ω), тобто кількість усіх рівноможливих результатів цього стохастичного (випадкового) експерименту, дорівнює перестановкам із чисел 1, 2, 3, ..., n. (n! послідовностей)

Ну і дійсно: нам же потрібно визначити, які можуть бути різні комбінації із чисел при витягуванні їх для того, щоб дізнатися, скільки є рівноможливих наслідків цього експерименту.

Якщо їх (чисел), до прикладу, буде 3, то нам потрібно визначити скільки є комбінацій із цих чисел без повторень, тобто 3! (для формули потрібно, якщо хтось ще не зрозумів)

Відповідно, кількість усіх рівноможливих результатів деякого стохастичного (випадкового) експерименту, при якому ми б послідовно витягували усі числа, пронумерованих як 1, 2, 3, ..., n, дорівнюють кількості перестановок із цих чисел, тобто n!

Сприятлива подія полягає в тому, що при витягуванні послідовно n чисел, послідовність вийде зростаючою. Така подія 1 - вона і є сприятливою.

То тепер, нехай A - це подія, при якій утвориться зростаюча послідовність, а P(A) - її ймовірність. Тоді:

$P(A) = \frac{m}{b}$, де b - кількість рівноможливих наслідків цього експерименту (n!), а m - це наслідки події A, тобто сприятливі події (1).

Відповідно маємо:

$P(A) = \frac{1}{n!}$