Question

Помогите решить неравенство log2(x-14)-1/2log2(3x-26)>1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\log_2(x-14)-0.5\log_2(3x-26)>1 |\cdot2\\2\log_2(x-14)>2+\log_2(3x-26), \: x-14>0 \Leftrightarrow x>14\\\log_2(x-14)^2>\log_2(4(3x-26))\\(x-14)^2>4(3x-26)\\x^2-28x+196-12x+104>0\\x^2-40x+300>0\\D/4=400-300=100\\x_1=20+10=30\\x_2=20-10=10\\(x-30)(x-10)>0 | :x-10>0\\x-30>0\\x>30\\OTBET: x \in (30; +\infty)$

Answer 2

$\log_2(x-14)-\frac{1}{2}\log_2(3x-26)>1$

ОДЗ:

$\left\{\begin{matrix}x-14>0 & & \\ 3x-26>0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x>14 & & \\ x>\frac{26}{3} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x>14.$

Вычитаемое перебросим вправо со знаком + и умножим обе части на 2:

$\log_2(x-14)>1+\frac{1}{2}\log_2(3x-26);\\\\2\log_2(x-14)>2+\log_2(3x-26)$

По свойствам $\boxed{a\log_b c=\log_b c^a}$, $\boxed{\log_ab+\log_ac=\log_a(a\cdot b)}$ преобразуем обе части:

$\log_2(x-14)^2>\log_24+\log_2(3x-26);\\\\\log_2(x^2-28x+196)>\log_2(4(3x-26)).$

Логарифмы опускаем, знак сохраняем, так как основание 2 > 1.

$x^2-28x+196>12x-104;\\\\x^2-40x+300>0.$

Нули левой части удобно найти по теореме Виета:

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=40 & & \\ x_1\cdot x_2=300& & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_1=10, x_2=30$

Записываем неравенство в виде $(x-10)(x-30)>0$, решаем методом интервалов (вложение) и получаем, что $x\in(-\infty;10)\cup(30;+\infty)$. Вспоминаем, что по ОДЗ x > 14 - значит, ответом служит только второй интервал.

ОТВЕТ: (30; +∞)