Question

При каком наименьшем натуральном “a” уравнение имеет решение.

Answer 1

Ответ:

Решение существует только при  $a$∈(-∞; 0] ∪ [12; +∞) , причем оно единственное:

$x=\frac{a^2}{4}$

При каком наименьшем натуральном “$a$” уравнение имеет решение?

$a=12$

При этом имеем корень:

$x=36$

Пошаговое объяснение:

Найдем такое значение $a$, при котором существует решение $x= 0$

$\sqrt{36-6a} =2\sqrt{9-3a} \\36-6a=4(9-3a)\\-6a=-12a\\a=0$

Сначала рассмотрим  случай, когда $a\neq0 ; a\neq 6; a\neq3$

В этом случае можно поделить обе части уравнения на  $\sqrt[]{x}$

$x>0$

Сделаем замены:

$\sqrt{1+\frac{6(6-a)}{x} } =f\geq 0\\\sqrt{1+\frac{3(3-a)}{x} } = g\geq 0$

Поскольку $a\neq 6; a\neq3$, то данное уравнение эквивалентно системе:

$\left \{ {{f=2g-1} \atop {(f^2-1)(3-a) = 2(g^2-1)(6-a)}} \right.$

$((2g-1)^2 -1)(3-a) =2(g^2-1)(6-a)\\(4g^2-4g)(3-a)=2(g^2-1)(6-a)\\2g(g-1)(3-a) -(g^2-1)(6-a)=0\\2g(g-1)(3-a) -(g-1)(g+1)(6-a)=0\\(g-1)( 2g(3-a) -(g+1)(6-a) ) = 0\\(g-1)( g(6-2a) -g(6-a) -6+a) = 0\\(g-1)( g(6-2a-6+a) -6+a) = 0\\(g-1)( -ga -6+a)=0$

Решаем уравнение относительно замены.

Поскольку мы решаем уравнение относительно радикала $g$,то корень, полученный в процессе решения, не будет обращать подкоренное выражение в отрицательное число, но тем не менее, нельзя забывать, что $x>0$ , а самое главное, что $f=2g-1\geq 0$ , но если это неравенство выполнено, то выполнено и то, что $g>0$.  Тут надо понимать еще один не мало важный момент, что корень полученный, после решения уравнений относительно замен $g$ и $f$ будет одинаковым, а значит, поскольку $2g-1\geq 0$, то оба из подкоренных выражений будут неотрицательны.

1) $g=1$

$\sqrt{1+\frac{3(3-a)}{x} } = 1\\\frac{3(3-a)}{x} = 0$

Поскольку $a\neq 3$ тут решений нет

2)

$g= \frac{a-6}{a}\\2g-1\geq 0\\\frac{2a-12}{a} -1\geq 0\\\frac{a-12}{a} \geq 0$

$a$∈(-∞; 0) ∪ [12; +∞)

$\sqrt{1+\frac{3(3-a)}{x} } = \frac{a-6}{a} \\1+\frac{3(3-a)}{x} =( \frac{a-6}{a})^2 \\a^2x +3a^2(3-a) =x(a-6)^2\\x( (a-6)^2 -a^2) =3a^2(3-a)\\x(-6(2a-6) ) = 3a^2(3-a)\\12x(3-a) =3a^2(3-a)\\x= \frac{a^2}{4} > 0\\ a\neq0$

Таким образом, при $a$∈(-∞; 0) ∪ [12; +∞)  одно решение:

$x=\frac{a^2}{4}$

Рассмотрим теперь частные случаи:

1) $a=0$

В этом случае, мы сначала обозначаем, что точно существует корень

$x=0$

Потом, не боясь за его потерю, опять приходим к тому, что

$(g-1)(-ga -6+a)=0$

Но поскольку $a=0$ , то вторая скобка превращается в константу $-6$

То есть, возможно только $g=1$, но как уже было показано выше, данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, в этом случае, имеем одно решение.

Примечание: можно заметить, что решение $x= 0$ точно согласуется с формулой :  

$x=\frac{a^2}{4}$ , что является удобным совпадением.

То есть мы можем объединить первый и второй случай в один:

Одно решение при  $a$∈(-∞; 0] ∪ [12; +∞)

$x=\frac{a^2}{4}$

2) $a=6$

$\sqrt{x} = 2\sqrt{x-9} -\sqrt{x} \\\sqrt{x} =\sqrt{x-9} \\x=x-9\\0=-9$

Как видим, тут решений нет

3) $a=3$

$\sqrt{x+18} =2\sqrt{x} -\sqrt{x} \\ \sqrt{x+18} = \sqrt{x} \\x+18=x\\0=18$

Как видим, тут решений нет.

Таким образом, наименьшее натуральное a, при котором решение существует, это:

$a=12$

$x=\frac{12^2}{4} = 36$