Question

При каком наименьшем натуральном “a” уравнение имеет решение.

Answer 1

Ответ:12

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{x-6a+36}+\sqrt{x}=2\sqrt{x-3a+9}, \: a \in \mathbb{N}\\(1): \:x-3a+9 \geqslant 0 \\x-6a+36+2\sqrt{x-6a+36}\sqrt{x}+x=4x-12a+36\\2\sqrt{x-6a+36}\sqrt{x}=2x-6a\\\sqrt{x-6a+36}\sqrt{x}=x-3a,\\(2): \: x-3a \geqslant 0 \\(3): \: x \geqslant 0\\(4): \: x-6a+36 \geqslant 0 \\x^2-6ax+36x=x^2-6ax+9a^2\\36x=9a^2\\x=0.25a^2$

Заметим, что условие (2) строже условия (1), а условие (3) выполняется при любых a

Найдем при каких a верно (2) и (4):

$0.25a^2-3a\geqslant 0 \Leftrightarrow a(a-12)\geqslant 0 \Leftrightarrow a\geqslant 12 \: (a \in \mathbb{N})\\0.25a^2-6a+36\geqslant 0\Leftrightarrow a^2-24a+144\geqslant 0 \Leftrightarrow (a-12)^2\geqslant0 \Leftrightarrow a \in \mathbb{R}$

Таким образом

$\min a = 12$