Question

Завдання 33. Записали два числа. До першого додали друге отримали трете. До другого додали третє І
отримали четверте і т.д. Чому дорівнює сума шести написаних чисел, якщо пяте дорівнює 7?
Завдання 34. 25 школярів стоять у ряд. Школяр, що стоїть з лівого боку, вищий за школяра, що стоїть з
правого боку. Доведіть, що в школяр, у якого лівий сусід буде вищим від правого.
Завдання 35. На дошці написано число 12. Кожну хвилину число або множать, або ділять або на 2, або на
3, а результат записують на дошку замість попереднього числа. Доведіть, що число, яке буде записане на
дошці рівно за годину, уде дорівнювати 54.​

Answer 1

Завдання33
Розв'язання. Позначимо через а1, а2, а3, а4, а5, а6 числа, про які сказано в умові задачі. Виразимо всі ці числа через а1 і а2:

а3 = а1 + а2;
а4 = а2 + а3 = а1 + 2а2;
а5 = а3 + а4 = 2а1 + 3а2;
а6 = а4 + а5 = 3а1 + 5а2.

Маємо:

а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 =
= (1 + 1 + 1 + 2 + 3) · а1 + (1 + 1 + 2 + 3 + 5) · а2 =
= 8а1 + 12а2 = 4 · (2а1 + 3а2) = 4а5 = 4 · 7 = 28.
Відповідь: 28.
Завдання 34
Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що у кожного школяра правий сусід не нижче від лівого. Тоді школярі на непарних місцях стоять у порядку неспадання, якщо рахувати зліва направо. Звідси випливає, що самий правий школяр не нижчий від самого лівого. Отримана суперечить з умовою задачі свідчить про хибність припущення.
Завдання 35

Доведення. У результаті виконання вказаних дій через t хвилин можна отримати число 2хt · 3хt. Тут t — кількість хвилин від написання першого числа, х0 = 2, y0 = 1, бо 12 = 22 · 31. Для кожного невід'ємного цілого t справджується одне з двох висловлювань:

або хt + 1 = хt ± 1 i yt + 1 = yt;
або хt + 1 = хt i yt + 1 = yt ± 1.
Отже, парність суми хt + yt змінюється щохвилини. Вона змінюється через непарну кількість хвилин, а через парну кількість хвилин стає такою самою, якою була спочатку.

х0 + y0 = 2 + 1 = 3 — непарне число.

х60 + y60 також має бути непарним, тому не може дорівнювати 4 = 1 + 3.

Отже, через 60 хвилин на дошці буде записано число, відмінне від 54 = 21 · 33.