Question

На доске написано 120 чисел. Среди их всевозможных попарных произведений ровно 2000 отрицательных. Какое наибольшее количество нулей могло быть среди чисел, написанных на доске. ​

Answer 1

Ответ:

30

Пошаговое объяснение:

Пусть было записано x положительных, y отрицательных и z нулей. Тогда x + y + z = 120, xy = 2000. Выразим из второго равенства y и подставим в первое: $y=\dfrac{2000}{x},\ x+\dfrac{2000}{x}+z=120$. Так как z должно быть наибольшим, значение выражения $x+\dfrac{2000}{x}$ должно быть наименьшим. Так как x > 0, по неравенству о средних $\dfrac{x+\frac{2000}{x}}{2}\geq \sqrt{x\cdot\dfrac{2000}{x}}\Rightarrow x+\dfrac{2000}{x}\geq 2\sqrt{2000}$

Наименьшее значение достигается, когда оба слагаемых равны:

$x=\dfrac{2000}{x}\\x^2=2000\\44=\sqrt{1936}<x=\sqrt{2000}<\sqrt{2025}=45$

Вспомним, что x, z и 120 — целые числа, значит, 2000 / x — тоже целое число, то есть x — делитель числа 2000. Перебирая последовательно вверх числа от 45, приходим к x = 50. $z=120-50-\dfrac{2000}{50}=30$. Перебирая последовательно вниз числа от 44, приходим к x = 40. $z=120-40-\dfrac{2000}{50}=30$. Наибольшее количество нулей — 30.