Question

Пожалуйста, помогите с решением этих трёх заданий. Срочно нужно, пожалуйста! И если можно, то с полными вариантами решений.

Answer 1

19.

Замена переменной:

$\sqrt{x^2-y^2}=u$     ⇒      $x^2-y^2=u^2$

$\sqrt{x-y}=v$         ⇒     $x-y=v^2$

$\left \{ {{u+v=6} \atop {u^2-v^2=12}} \right.$            $\left \{ {{u+v=6} \atop {(u-v)(u+v)=12}} \right.$       $\left \{ {{u+v=6} \atop {(u-v)\cdot 6=12}} \right.$       $\left \{ {{u+v=6} \atop {u-v=2}} \right.$   способ сложения:   $\left \{ {{2u=8} \atop {v=6-u}} \right.$

u=4; v=2

$\left \{ {{\sqrt{x^2-y^2}=4 } \atop {\sqrt{x-y}=2 }} \right.$      $\left \{ {{x^2-y^2=16} \atop {x-y=4}} \right.$       $\left \{ {{(x-y)(x+y)=16} \atop {x-y=4}} \right.$        $\left \{ {{4\cdot (x+y)=16} \atop {x-y=4}} \right.$      $\left \{ {{x+y=4} \atop {x-y=4}} \right.$

способ сложения:  2х=8;  x=4; y=0

О т в е т. (4;0)

20.

$(36^{sinx})^{cosx}=(6^2)^{sinx\cdot cosx}=6^{2sinx\cdot cosx}$

$6^{2sinx\cdot cosx}=6^{\sqrt{3} cosx}$     ⇒   $2sinx\cdot cosx=\sqrt{3} cosx$

$2sinx\cdot cosx-\sqrt{3} cosx=0$

$cosx\cdot(2sinx-\sqrt{3})=0$

$cosx=0$                      или                $2sinx-\sqrt{3}=0$   ⇒   $sinx=\frac{\sqrt{3} }{2}$

$x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z$       или              $x=(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

О т в е т.        $\frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z$  ;  $(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

Отрезку [2π; 3π]  принадлежат корни:$\frac{7 \pi}{3} ; \frac{5 \pi}{2} ;\frac{8 \pi}{3}$

21.

ОДЗ:        $\left \{ {{\frac{x-1}{2x+3}>0 } \atop {(2x+3)^2>0}} \right.$    $\left \{ {{x < -\frac{3}{2}\cup x > 1 } \atop {x\neq-\frac{3}{2} }} \right.$

x∈(-∞;  -1,5) U(1;+∞)

$2log_{2}\frac{x-1}{2x+3} +log_{2}(2x+3)^2\geq 2$

По свойству логарифма степени:

$log_{2}(\frac{x-1}{2x+3})^2 +log_{2}(2x+3)^2\geq 2$

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

$log_{2}(\frac{x-1}{2x+3})^2 \cdot (2x+3)^2\geq 2$

$log_{2}({x-1)^2 \geq 2$

$log_{2}({x-1)^2 \geq log_{2}4$

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

$(x-1)^2\geq 4$        ⇒     $(x-1)^2- 4\geq0$

$(x-1-2)(x-1+2)\geq 0$

$(x-3)(x+1)\geq 0$

x∈(-∞;-1] U[3;+∞)

Найденные решения входят в ОДЗ,

О т в е т. (-∞;-1] U[3;+∞)