Question

РЕШИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ МЕТОДОМ ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА:
2sinx-3cosx=6

Answer 1

Ответ:

Уравнения такого сорта решаются введением новой функции. Нужны формулы Sinx = 2tgx/2 /(1 + tg²x/2)

Cosx = (1 - tg²x/2)/(1 + tg²x/2)

После использования этих формул получим уравнение с одним неизвестным.

4 tgx/2 /(1 + tg²x/2) + 3 (1 - tg²x/2)/(1 + tg²x/2) = 6 | * (1 + tg²x/2) ≠ 0

4tg x/2 +3(1 - tg²x/2) = 6(1 + tg²x/2)

4tg x/2 +3 - 3 tg²x/2 = 6 + 6 tg²x/2

9 tg²x/2 - 4tgx/2 +3 = 0

Answer 2

$2sinx-3cosx=6\\\\2^2+3^2=4+9=13\ \ \ \to \ \ \ \ \ 2sinx-3cosx=6\ \Big| :\sqrt{13}\\\\\dfrac{2}{\sqrt{13}}\, sinx-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\, cosx=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\\\\cos\phi \cdot sinx-sin\phi \cdot cosx=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\\\\\star \ \ cos\phi =\dfrac{2}{\sqrt{13}}\ \ ,\ \ sin\phi =\dfrac{3}{\sqrt{13}}\ \ ,\ \ sin^2\phi +cos^2\phi =1\ ,$$tg\phi =\dfrac{sin\phi }{cos\phi }=\dfrac{3}{2}\ \ ,\ \ \phi =arctg\dfrac{3}{2}\ \ \star \\\\sin(x-\phi )=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\\\\x-\phi =(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{6}{\sqrt{13}}+\pi n\ ,\ n\in Z$

$x=\phi +(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{6}{\sqrt{13}}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\x=arctg\dfrac{3}{2}+(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{6}{\sqrt{13}}+\pi n\ ,\ n\in Z$