Question

Докажите, что если $\frac{a}{b} =\frac{c}{d}$ то верны следующие производные пропорции: $\frac{a+c}{b+d} =\frac{a}{b} =\frac{c}{d}$

Answer 1

Если верна пропорция $\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d}$, то по основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$ad=bc$

Рассмотрим пропорцию $\dfrac{a+c}{b+d} =\dfrac{a}{b}$. Проверим, равно ли произведение крайних и произведение средних членов:

$(a+c)\cdot b=(b+d)\cdot a$

$ab+bc=ab+ad$

Слагаемое $ab$ взаимно уничтожается.

$bc=ad$

Это равенство верно, так как оно получено из исходной верной пропорции.

Рассмотрим пропорцию $\dfrac{a+c}{b+d} =\dfrac{c}{d}$. Проверим, равно ли произведение крайних и произведение средних членов:

$(a+c)\cdot d=(b+d)\cdot c$

$ad+cd=bc+cd$

Слагаемое $cd$ взаимно уничтожается.

$ad=bc$

Это равенство также верно, так как оно получено из исходной верной пропорции.