Question

Даю 10 балов за 2 задачи​

Answer 1

Ответ:

№29: 41π/18

№31: 5π/6

Объяснение:

воспользуемся формулами приведения:

$sin x=cos \left(\frac{\pi}{2}-x \right)$

$ctg x=tg \left(\frac{\pi}{2}-x \right)$

Также воспользуемся :

$arccos(cosx)=x, \ x \in [0;\pi]$

$arctg(tgx)=x, \ x \in \left(-\frac{\pi}{2} ;\frac{\pi}{2}\right)$

№29

$arccos\left(sin\frac{50\pi}{9}\right)=arccos(cos\left(\frac{\pi}{2}- \frac{50\pi}{9}\right))=arccos(cos\left(- \frac{91\pi}{18}\right))$

Воспользуемся свойством периодичности косинуса:

cosx=cos(x+2πk), k∈Z

$1) \ k=1 \Rightarrow cos\left(- \frac{91\pi}{18}+2\pi\right)=cos\left(- \frac{55\pi}{18}\right) \\ \\ 2) \ k=2 \Rightarrow cos\left(- \frac{91\pi}{18}+4\pi\right)=cos\left(- \frac{19\pi}{18}\right) \\ \\ 3) \ k=3 \Rightarrow cos\left(- \frac{91\pi}{18}+6\pi\right)=cos\frac{17\pi}{18} , \ \ \frac{17\pi}{18} \in [0;\pi]$

Значит:

$arccos(cos\frac{17\pi}{18} )=\frac{17\pi}{18}$

также поступаем с тангенсом:

tgx=tg(x+πk), k∈Z

$1) \ k=-5 \Rightarrow tg\left( \frac{50\pi}{9}-5\pi\right)=tg\left( \frac{5\pi}{9}\right) \\ \\ 2) \ k=-6 \Rightarrow tg\left( \frac{50\pi}{9}-6\pi\right)=tg\left(- \frac{4\pi}{9}\right), \ - \frac{4\pi}{9} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Значит:

$arctg(tg(-\frac{4\pi}{9} ))=-\frac{4\pi}{9}$

Таким образом:

$arccos(sin\frac{50\pi}{9})-3arctg(tg\frac{50\pi}{9})=arccos(cos(-\frac{91\pi}{18}))-3arctg(tg(-\frac{4\pi}{9}))= \\ \\ =arccos(cos\frac{17\pi}{18})-3*(-\frac{4\pi}{9})=\frac{17\pi}{18}+\frac{4\pi}{3}=\frac{41\pi}{18}$

№31

Так как косинус - это четная функция, значит cos(-x)=cosx

$arctg(ctg\frac{50\pi}{9})+2arccos(cos\frac{50\pi}{9})=arctg(tg(\frac{\pi}{2}-\frac{50\pi}{9})) +2arccos(cos(-\frac{4\pi}{9})) \\ \\ =arctg(tg(-\frac{91\pi}{18}))+2arccos(cos\frac{4\pi}{9})=arctg(tg(-\frac{\pi}{18}))+2*\frac{4\pi}{9}= \\ \\ =-\frac{\pi}{18}+\frac{8\pi}{9}=\frac{15\pi}{18}=\frac{5\pi}{6}$