Question

Знайти найменше значення виразів та вказати при яких х і у такі значення досягаються. / Найти наименьшее значение выражений и указать при которых х и у такие значения достигаются. ​

Answer 1

Ответ:

а) 10 при x = -3, y = -6; б) 20 при x = 3, y = 4

Объяснение:

а) $5x^2+y^2-4xy+6x+19=y^2-4xy+4x^2+x^2+6x+9+10=\\=(y-2x)^2+(x+3)^2+10$

Так как $(y-2x)^2 \geq 0, (x+3)^2\geq 0, (y-2x)^2+(x+3)^2+10\geq 10$. Наименьшее значение (10) достигается, если оба квадрата равны нулю:

$\displaystyle \left \{ {{y-2x=0} \atop {x+3=0}} \right. \left \{ {{y=2x} \atop {x=-3}} \right. \left \{ {{y=-6} \atop {x=-3}} \right.$ — при данных x и y достигается наименьшее значение выражения.

б) $|x-3|+y^2-8y+36=|x-3|+y^2-8y+16+20=|x-3|+(y-4)^2+20$

Так как $|x-3|\geq 0, (y-4)^2 \geq 0, |x-3|+(y-4)^2+20\geq 20$. Наименьшее значение (20) достигается, если модуль и квадрат равны нулю, то есть при x = 3, y = 4.