Question

найдите минимальное значение функции
$y = {x}^{x}$
и координаты самой низкой точки. Заранее спасибо​

Answer 1

Ответ:

$y_{min} = \frac{1}{e} ^\frac{1}{e}$

Объяснение:

Здравствуйте!

Преобразуем функцию:

$y=x^x = e^{xln(x) }$

Найдем наименьшее значение функции:

$f(x) =xln(x)$

$f'(x) = ln(x) +x/x = ln(x)+1$ , $x\neq 0$

$ln(x) +1 = 0\\ln(x) = -1\\x=\frac{1}{e}\\\frac{1}{e^2} <\frac{1}{e} < 1}\\f'(1) = ln(1)+1 = 2 >0\\f'(\frac{1}{e^2} ) =ln(\frac{1}{e^2} ) = -2+1 = -1 <0$

То есть $\frac{1}{e }$ - точка минимума.

Поскольку $e>1$ , то $y_{min} = \frac{1}{e} ^\frac{1}{e}$

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим.

Answer 2

Ответ:

По Лопиталю если $f'(x) = g'(x)$, то $(\ln(f(x)))' = (\ln(g(x)))'$.

Применяем:

$y = x^x$

$\ln(y) = x \cdot \ln(x)$

$(\ln(y))' = (x \cdot \ln(x))'$

$\frac{y'(x)}{y(x)} = x' * \ln(x) + x * (\ln(x))'$

$\frac{y'(x)}{y(x)} = \ln(x) + \frac{x}{x}$

$\frac{y'(x)}{y(x)} = \ln(x) + 1$

$y'(x)= y(x) \cdot (\ln(x) + 1)$

$y'(x)= x^x \cdot (\ln(x) + 1)$

Найдем экстремумы:

$y'(x)= x^x \cdot (\ln(x) + 1) = 0$

Произведение равняется 0, если один из операндов равен 0.

$x^x \neq 0$, так как $0^0$ - неопределённость.

$\ln(x) + 1 = 0\\\ln(x) = -1\\x = \frac{1}{e}$

$y = x^x = (\frac{1}{e})^\frac{1}{e}$