Question

В треугольнике ABC его медианы AA1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О. Середины отрезков OA, OB и OC обозначены соответственно A2, B2 и C2. Выразите периметр шестиугольника A2C1B2A1C2B1 через медианы ma = AA1, mb = BB1, mc = CC1.

Answer 1

В треугольнике ABC его медианы AA1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О. Середины отрезков OA, OB и OC обозначены соответственно A2, B2 и C2. Выразите периметр шестиугольника A2C1B2A1C2B1 через медианы ma = AA1, mb = BB1, mc = CC1.

Объяснение:

Медиана точкой пересечения делится на отрезки в отношении 2:1 ,считая от вершины ( см рисунок 1):

ОА=$\frac{2}{3}$ mа   ,    ОВ=$\frac{2}{3}$ mb   ,    ОС=$\frac{2}{3}$ mc  .

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон .Это отрезки :

А₂С₁ и А₁С₂ соответственно в  ΔОАВ и ΔОАС ;

С₂В₁ и С₁В₂ соответственно в  ΔОСА и ΔОАВ ;

А₂В₁ и А₁В₂ соответственно в  ΔОАС и ΔОВС .

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

А₂С₁= $\frac{1}{2}$ ОВ=  $\frac{1}{2}$ *$\frac{2}{3}$ mb =$\frac{1}{3}$ mb  ,   А₁С₂ =$\frac{1}{2}$ ОВ=  $\frac{1}{2}$ *$\frac{2}{3}$ mb =$\frac{1}{3}$ mb  ;

С₂В₁=$\frac{1}{2}$ ОА=  $\frac{1}{2}$ *$\frac{2}{3}$ mа =$\frac{1}{3}$ mа ,      С₁В₂ =$\frac{1}{2}$ ОА=  $\frac{1}{2}$ *$\frac{2}{3}$ mа =$\frac{1}{3}$ mа ;

А₂В₁ = $\frac{1}{2}$ ОС=  $\frac{1}{2}$ *$\frac{2}{3}$ mс =$\frac{1}{3}$ mс ,    А₁В₂ = $\frac{1}{2}$ ОС=  $\frac{1}{2}$ *$\frac{2}{3}$ mс =$\frac{1}{3}$ mс  .

Р(шестиугольника)=2*$\frac{1}{3}$ mb+2*$\frac{1}{3}$ mа+2*$\frac{1}{3}$ mс=$\frac{2}{3}$( mа+ mb+mс)