Question

Может ли у тригонометрического уравнения быть комплексные корни?

Answer 1

Да, приведу самый простой пример:

$cos(x) = 2$

Очевидно, что действительных решений тут нет.

Попробуем найти комплексные:

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\e^{ix}+e^{-ix} = 4$

Сделаем замену : $e^{ix} = t$

$t+1/t = 4\\t^2-4t+1 = 0\\D/4 = 4-1 = 3\\t_{1,2} = 2+-\sqrt{3} \\e^{ix} = 2+-\sqrt{3}\\x_{1,2} =-iln(2+-\sqrt{3} )$