Question

Вычислить значение выражения

Answer 1

Вспомним формулу синуса двойного угла:

    $\sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$

И применим ее (в "обратную сторону") по отношению к требуемому в задаче выражению:

    $\displaystyle 2 \cdot \sin \frac{7 \pi}{12} \cdot \cos \frac{7 \pi}{12} = \sin \bigg ( 2 \cdot \frac{7 \pi}{12} \bigg ) = \sin \frac{7 \pi}{6}$

Далее вспомним, $\sin ( \pi + x) = - \sin x$, что следует из формулы $\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta$ и того, что $\sin \pi = 0$ и $\cos \pi = -1$. Поэтому:

    $\displaystyle \sin \frac{7\pi}{6} = \sin \bigg ( \pi + \frac{\pi}{6} \bigg ) = - \sin \frac{ \pi}{6}$

Но $\displaystyle \sin \frac{ \pi}{6} = \sin (30^\circ) = \frac{1}{2}$ - табличное значение.

Поэтому ответом является дробь $- \dfrac{1}{2}$ или же $-0.5$.

Ответ:  - 1 / 2 .