Question

Найдите все натуральные числа, которые в 36 раз больше суммы своих цифр.

Answer 1

Ответ:

324, 648.

Пошаговое объяснение:

Пусть в числе k цифр. Максимально возможная сумма цифр - это 9k, тогда само число не больше $36\cdot9k=324k$. При этом само число не меньше $10^{k-1}$. Чтобы был хоть какой-то шанс найти k-значное число, удовлетворяющее условию, должно быть выполнено неравенство $324k\geqslant10^{k-1}$.

Правая часть неравенства растёт гораздо быстрее левой. Подбором находим, что при k = 4 неравенство выполнено, а при k = 5 уже нет. Докажем, что и при всех больших k неравенство не выполнено, по индукции:

• База. k = 5: $1620=324\cdot5<10000$
• Переход. Пусть для всех 4 < k < n выполнено $324k<10^{k-1}$. Докажем, что и для k = n это так. Действительно, при n > 4$10^{n-1}-324n=10\cdot10^{n-2}-324n>10\cdot324(n-1)-324n=\\=2916n-3240>0$

Сумма цифр принимает значения вплоть до 36. Для сокращения перебора вспомним, что если число делится на 9 (а оно делится, так как делится на 36), то и сумма цифр должна делиться. Остаются 4 варианта:

• Сумма цифр 9, тогда само число должно быть $36\cdot9=324$. У него сумма цифр 9, подходит.
• Сумма цифр 18, само число $36\cdot18=648$, сумма цифр правильная, подходит.
• Сумма цифр 27, само число $36\cdot27=972$, не подходит
• Сумма цифр 36, само число $36\cdot36=1296$, не подходит.