Question

$sin^{3}x-cos^{3}+cos(2x)=0$ Помогите пожалуйста решить уравнение

Answer 1

$\displaystyle sin^3(x)-cos^3(x)+cos(2x)=0\\(sin(x)-cos(x))(sin^2(x)+sin(x)cos(x)+cos^2(x))-(sin^2(x)-cos^2(x))=0\\(sin(x)-cos(x))(sin(x)cos(x)-sin(x)-cos(x)+1)=0$

$\displaystyle sin(x)-cos(x)=0\\sinx=cos(x)|:cos(x)\neq0\\tg(x)=1\\x=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z$

Для второй скобки воспользуемся универсальной тригонометрической заменой:

$\displaystyle sin(x)cos(x)-sin(x)-cos(x)+1=0\\t=tg(\frac{x}{2})\\\frac{2t}{1+t^2}*\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+1=0\\\frac{2t(1-t^2)-2t(1+t^2)-(1-t^2)(1+t^2)+(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2}=0$

Дробь равна нулю, если числитель 0:

$2t(1-t^2)-2t(1+t^2)-(1-t^2)(1+t^2)+(1+t^2)^2=0\\-4t^3+t^4+2t^2+t^4=0\\t^4-2t^3+t^2=0\\t^2(t^2-2t+1)=0\\t^2(t-1)^2=0\\t=0;t=1$

$\displaystyle tg(\frac{x}{2})=0\\\frac{x}{2}=\pi n;n\in Z\\x=2\pi n;n\in Z$

$\displaystyle tg(\frac{x}{2})=1\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z$

Ответ:

$\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z\\\\x_2=\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z\\\\x=2\pi n;n\in Z$