Question

и28) Функция F(x) является первообразной для функции f(x)= x^2 -x +2 . Если наименьшее значение функции F(x) на отрезке [0; 2] равно 2 , то найдите наибольшее значение функции F(x) на данном отрезке .

A) 5 2/3
B) 5 1/3
C) 6 2/3
D) 6 1/3

**СПАСИБО**​

Answer 1

Ответ:

$6\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

Коли функция $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$, то функция производной от функции $F(x)$.

Имея производную мы можем найти локальные максимумы и минимумы функции. Для этого найдем точки, в которых производная равняется 0.

$f(x) = x^2 - x + 2 = 0$

$D = - 1 - 4 * 2 = -9 < 0$ - уравнение не имеет действительных корней.

Значит функция монотонно убывающая или монотонно возрастающая.

Ветви параболы направлены вверх, значит функция монотонно возрастающая.

Также это означает, что максимальное и минимальные значения функция принимает на концах заданного отрезка - [0; 2].

F(0) - минимальное значение на отрезке. Значит F(2) - максимальное значение на отрезке [0; 2].

Вычислим это значение.

Для начала, найдем функцию F(x). Для этого проинтегрируем её производную:

$\int\limits y(x) \, dx = \int\limits x^2 - x + 2 \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x + C$

Это выражение задаёт целое семейство функций, различающихся на C = const.

Теперь найдем среди этого семейства нужную нам функцию. По условию у нас дано частное значение функции $F(0) = 2$

$\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 2*0 + C = 2\\C = 2$

$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x - 2$

Вычислим $F(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2*2 + 2 = \frac{8}{3} - 2 + 4 + 2 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$