Question

Найдите площадь треугольника, ограниченного осями системы координат и касательной, проведенной к графику функции
$y = ln( \frac{5x + 6}{2x + 15} )$
в точке Х=3​

Answer 1

$\displaystyle y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\f(x)=y=ln(\frac{5x+6}{2x+15})\\f(x_0)=f(3)=ln(\frac{21}{21})=0\\f'(x)=\frac{2x+15}{5x+6}*\frac{5(2x+15)-2(5x+6)}{(2x+15)^2}=\frac{63}{(5x+6)(2x+15)}\\f'(3)=\frac{63}{21*21}=\frac{1}{7}\\y_k=\frac{1}{7}(x-3)$

Находим площадь треугольника:

$\displaystyle S=-\frac{1}{7}\int\limits^3_0(x-3)dx=-\frac{1}{7}\frac{(x-3)^2}{2}|^3_0=-\frac{1}{7}(-\frac{9}{2})=\frac{9}{14}$