Question

Найдите х, удовлетворяющие уравнению при любом значении параметра а ( ответ 5, мне нужно решение)

Answer 1

    $\log_2 \Big ( a^2x^3 - 5a^2x^2 + \sqrt{6-x} \Big ) = \log_{a^2+2} \Big (3 - \sqrt{x-1} \Big )$

Раз некоторое число $x$ удовлетворяет уравнению при любом $a$, то оно также удовлетворяет уравнению при $a=0$.

То есть, если мы подставим в уравнение $a=0$, то выполнится равенство:

    $\displaystyle \log_2 \Big (\sqrt{6-x} \Big ) = \log_{2} \Big ( 3 - \sqrt{x-1} \Big ) \\\\\sqrt{6-x}= 3 - \sqrt{x-1} \\\\6-x = 9 - 6 \sqrt{x-1} + (x-1) \\\\6 \sqrt{x-1} = 2 + 2x \\\\3 \sqrt{x-1} = x+1 \\\\9x - 9 = x^2 + 2x + 1 \\\\x^2 - 7x + 10 = 0 \\\\ \left[\begin{array}{ccc}x_1=2 \\ x_2 = 5 \end {array} \right$

Оба корня удовлетворяют уравнению и ОДЗ (при $a=0$): с обеих сторон в первом случае получается $1$, а во втором $0$ (так как мы не выписывали ОДЗ, то мы могли получить "лишние корни", но мы их не получили).

Очевидно, что эти два корня в ответ так сразу не пойдут. Мы знаем лишь только, что они подходят при $a=0$. И если ответ на задачу существует, то он может быть только $2$, $5$ или и $2$, и $5$. Но про другие значения $a$ мы пока ничего не знаем.

Посмотрим, что у нас будет получаться при $x=2$:

    $\displaystyle \log_2 \Big (8a^2 - 20a^2 + \sqrt{6-2} \Big ) = \log_{a^2+2} \Big ( 3 - \sqrt{2-1} \Big ) \\\\\log_2 \Big (-12a^2 + 2 \Big ) = \log_{a^2+2} 2$

Вот только первый логарифм не всегда существует. $-12a^2+2$ может быть отрицательным (возьмите, к примеру, $a=100$). А подлогарифмическое выражение обязано быть положительным. Значит, такой $x$ нас не устраивает.

Теперь проверим $x=5$:

    $\displaystyle \log_2 \Big (125a^2 - 125a^2 + \sqrt{6-5} \Big ) = \log_{a^2+2} \Big ( 3 - \sqrt{5-1} \Big ) \\\\ \log_2 1 = \log_{a^2+2} 1$

В обеих частях мы получили $0$ (так как $\log _z1 = 0$, если $1\neq z>0$). Также $a^2 + 2 \geq 2$, поэтому все ограничения будут выполняться.

В итоге имеем нужный ответ: $x=5$.

Задача решена!