В четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС. Оказалось, что угол АСВ тупой и AB=CD. Докажите, что угол ADC острый.
Ответы
Доказательство:
В треугольнике может быть только один тупой угол, значит все остальные - острые.
Т.е. ∠ABC < ∠ACB
Против большего угла лежит большая сторона, поэтому AC < AB
Проведем окружность с центром в точке С и радиусом r равным AB. Тогда Точка D должна лежать на окружности т.к. CD=AB=r.
Т.к. AC < AB то AC < r т.е. точка A лежит внутри окружности.
Обозначим пересечение прямой AC с окружностью точкой F (да, их две, но рассматривать будем ту, которая находится со стороны точки A)
∠FDC = ∠FDA + ∠ADC
Значит ∠ADC = ∠FDC - ∠FDA т.е. ∠ADC < ∠FDC (если ∠FDA = 0, то F и A совпадают, что невозможно т.к. А лежит внутри окружности)
Рассмотрим ∠FDC - он опирается на красную дугу (см рисунок) и проходит через центр окружности.
Его максимальное значение будет 90° (предельное) (очень близкое к нему представлено на рисунке 2)
Предельное оно потому, что если оно равно 90°, то точки D A C лежат на одной прямой, а в этом случае ABCD - не четырехугольник.
Т.е. ∠ADC < ∠FDC < 90° Значит ∠ADC < 90° Т.е. ∠ADC - острый. Доказано.
============
Не забывайте нажать "Спасибо", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"
Успехов в учебе
Угол ACB тупой, следовательно наибольший в треугольнике ABC.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны - больший угол.
ACB>ABC => AB>AC => CD>AC => CAD>ADC
Угол ADC не наибольший в треугольнике ADC, следовательно острый.
