Question

При каких значениях а уравнение х в 4 + (3а+1) х в квадрате + 0.25=0 имеет два равных корня?

Answer 1

$x^{4} +(3a+1)x^{2} +0.25=0$

Заменим x^2 на t , t ≥ 0:

$t^{2} +(3a+1)t+0.25=0$

Начальное уравнение будет иметь два корня,

только если уравнение $t^{2} +(3a+1)t+0.25=0$  будет иметь только один корень, который больше нуля или один из корней будет < 0 , а другой > 0.

Рассмотрим эти два случая :

1. Уравнение будет иметь один корень, если D = 0 :

$(3a+1)^{2} - 4*0.25=0$

$9a^{2} +6a+1 - 1=0$

$9a^{2} +6a=0$

$3a(3a+2) = 0$

[ $3a = 0$     =>     $a = 0$

[ $3a + 2 = 0$     =>     $3a =-2$     =>     $a = -\frac{2}{3}$

a = 0 не подходит, т.к при а = 0, уравнение имеет корень -0.5, а он < 0.

2. Один из корней уравнения будет < 0 , а другой > 0, если :

{ D > 0

{ f(0) < 0 , где f(t) = t^2 +(3a+1)t+0.25=0

-----------------

{ $(3a+1)^{2} - 4*0.25>0$

{ $0^{2} +(3a+1)0+0.25<0$   =>   0.25 < 0   =>   x ∈ ∅

Ответ : при  a = -2/3