Question

4cos^2 (x) +4 cos^2 (x) sin 2x -1 =0

Answer 1

$4cos^2x+4cos^2x\cdot sin2x-1=0$

По формуле:

$2cos^2x=1+cos2x$

$2\cdot (1+cos2x)+2\cdot (1+cos2x)\cdot sin2x-1=0$

$2+2cos2x+2sin2x+2\cdot sin2x \cdot cos2x-1=0$

$2cos2x+2sin2x+2\cdot sin2x \cdot cos2x+1=0$

Замена переменной:

$cos2x+sin2x=t$

Возводим в квадрат:

$cos^22x+2cos2x\cdot sin2x+sin^22x=t^2$   ⇒   $2cos2x\cdot sin2x=t^2-1$

Уравнение примет вид:

$2t+t^2-1+1=0$

$t^2+2t=0$

$t=0$      или    $t=-2$

Обратный переход ( обратная замена):

$cos2x+sin2x=0$                 или        $cos2x+sin2x=-2$

$tg2x=-1$                                          не имеет корней, т.к

$2x=-\frac{\pi }{4} +\pi k, k \in Z$                    |sin2x|≤1  и  |cos2x|≤1, а

$x=-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} k, k \in Z$                    наименьшее значение (-1)

                                                   они   не могут   принимать

                                                                    одновременно                      

О т в е т. $-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} k, k \in Z$

Answer 2

4cos²x+4cos²x*sin2x-1=0

4cos²x(1+sin2x)-1=0

4cos²x(sin²x+2sinx*cosx+cos²x)-1=0

4cos²x(sinx+cosx)²-1=0

(2cosx(sinx+cosx)-1)(2cosx(sinx+cosx)+1)=0

1) 2cosx(sinx+cosx)-1=0

2cosx*sinx+2cos²x-1=0

sin2x+cos2х=0

делим на cos2х≠0. иначе бы и sin2x=0, но это не так.

tg2x=-1; 2x=-π/4+πm m∈Z;

x=-π/8+πm/2; m∈Z;

2) 2cosx(sinx+cosx)+1=0

2cosx*sinx+2cos²x+sin²x+cos²x=0

2cosx*sinx+3cos²x+sin²x=0

2tgx+3+tg²x=0 нет корней, т.к. дискриминант равен 4-12=-8 отрицателен.