Question

Найти все значения a, при которых имеется 2 целых решения

Answer 1

Область определения задается условиями:

$\left \{ {{x>0; x\neq 1 } \atop {a^{\frac{3x+1}{3}}-a^{\frac{10}{3} }-a^3x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{log_{x}a^{x}}\geq0 }}} \right.$

Так как  

$x\cdot log_{x}a=log_{x}a^{x}$         при    $a>0; a\neq 1$    и    $x> 0; x\neq 1$

и

$x^{log_{x}a^{x}}=a^{x}$                   при    $a>0; a\neq 1$    и    $x> 0; x\neq 1$

$\left \{ {{x>0; x\neq 1 } \atop {a^{\frac{1}{3}}\cdot (a^{x}-a^{3})-x^{\frac{1}{3}}(a^3-a^{x})\geq0 }}} \right.$

$\left \{ {{x>0; x\neq 1 } \atop { (a^{x}-a^{3})(a^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}})\geq0 }}} \right.$

При    $a>0; a\neq 1$    и    $x> 0; x\neq 1$

$a^{\frac{1}{3} }+x^{\frac{1}{3} } >0$

значит

$a^{x}-a^{3} \geq 0$

Показательная функция с основанием a > 1  возрастает и тогда $x\geq 3$

Такая область содержит бесчисленное множество целых значений.

Если же основание   $0 < a < 1$,  то показательная функция убывает  и

тогда  $x\leq 3$

Область определения в таком случае $(0;1) \cup(1;3]$  содержит два целых числа:  x=2; x=3

О т в е т. $0 < a < 1$