Question

(НЕ ПРОСТО РЕШЕНИЕ, А И ОБЪЯСНЕНИЯ ЧЕГО ТАК РЕШАЕТЕ). У прямому паралелепіпеді сторони основи 2√2 см і 5 см утворюють кут 45̊. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює 7 см. Знайти його об’єм.

Answer 1

Так як паралелепіпед прямий, то ∆ ВDВ1 прямокутний з гіпотенузою В1D. За теоремою Піфагора знайдемо висоту В1В паралелепіпеда: В1В2 = В1D2 – BD2 = 72 – 13 = 49 – 13 = 36. В1В = 6 см. SABCD = AB ∙ AD ∙ sin ∠BAD = 2√2 ∙ 5 ∙ √2 2 = 10 (см2).

Знаходимо об’єм паралелепіпеда: V = SABCD ∙ BB1 = 10 ∙ 6 = 60 (см3).

Нехай АВ = 2√2 см, АD = 5 см, ∠BAD = 45°.

Меншою діагоналлю паралелепіпеда буде та, яка проектується на меншу діагональ основи, тобто та, що лежить проти кута 45°. Отже менша діагональ основи ВD, а менша діагональ паралелепіпеда В1D = 7 см.

За теоремою косинусів:

ВD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cos∠BAD = = (2√2)2 + 52 – 2 ∙ 2√2 ∙ 5 ∙ cos45° = = 8 + 25 - 20√2 ∙ √2 2 = 33 – 20 = 13.