Question

Производная суммы равны сумме производных
(f(x)+g(x))1=f(x)+g1(x) ​

Answer 1

Определение

Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой области X значений аргумента x. Тогда $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Доказательство

По определению производной

$f'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

$g'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}$

Пусть $u(x) = f(x) + g(x)$, тогда

$u'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) + g(x+\Delta x) - f(x) - g(x)}{\Delta x} =$

$= \lim_{\Delta x\to0} (\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}) =$

$= \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} = y'(x) + g'(x)$

Что и требовалось доказать.

=========================

Если ответ устроил, не забудь отметить его как "Лучший".