Question

тема інтеграли та ряди

Answer 1

Отметим что при всех n члены ряда положительны

Далее

$\displaystyle\\\frac{3n^2-1}{7n^2+4} < \frac{3n^2}{7n^2+4}< \frac{3n^2}{7n^2} =3/7$

То есть ряд

$\displaystyle\\\\\sum\limits_{n=1}^{\infty}(3/7)^n$

является мажорантным для нашего. Но он сходится, тк это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Значит сходится и исходный ряд

Answer 2

Применим признак Коши в предельной форме, а именно Если существует предел корня энной степени из aₙ при n стремящемся к бесконечности, и равен λ, то при λ<1 ряд сходится, приλ >1 расходится, при λ=1 может как сходиться, так и расходиться.

Корень энной степени из aₙ равен  (3n²-1)/(7n²+4), этот предел равен отношению коэффициентов при одинаковых высших степенях n, т.е. 3/7, а, следовательно, ряд сходится.