Question

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается сторон BC, CA, AB в точках А1, В1, С1, соответственно. Пусть В1Н — высота треугольника А,В,С (точка H лежит на стороне C1A1).
Докажите, что АН – биссектриса
<САВ​

Answer 1

I - центр вписанной окружности.  

A1IB1C - прямоугольник (радиусы в точку касания перпендикулярны касательным)

A1IB1=90 => A1C1B1 =45

△B1HC1 - равнобедренный (углы 45, 90)

△B1AC1 - равнобедренный (отрезки касательных из одной точки равны)

Серединный перпендикуляр к основанию B1C1 является биссектрисой угла A.

Точки A и H лежат на серединном перпендикуляре к B1C1, значит на биссектрисе угла А.