Два непропорциональных кубических многочлена с целыми коэффициентами имеют общий иррациональный корень.
Докажите, что у них есть еще один общий корень
Ответы
Поскольку, любое уравнение можно поделить на его старший коэффициент, то будем считать, для удобства, что мы рассматриваем два приведенных кубических уравнения с рациональными коэффициентами.
,
- рациональные числа.
Поскольку, данные уравнения имеют общий корень, то уравнение, являющееся их разностью, тоже содержит этот корень:
, поскольку коэффициенты уравнений непропорциональны, то все коэффициенты полученного квадратного уравнения ненулевые.
А значит, данный общий иррациональный корень принимает вид : , где
- рациональные числа, при этом
не полный квадрат, отсюда в частности
.
Попробуем показать, что если корень уравнения
, то и
корень данного уравнения , и наоборот. Сделаем некоторое упрощение.
Если число является корнем данного уравнения , то сделаем замену:
, тогда после раскрытия скобок данное уравнение так же будет с рациональными коэффициентами и будет иметь корень
Такое уравнение примет вид :
,
- рациональные числа.
Учитывая, что
Предположим, что , но тогда , учитывая, что
- не полный квадрат, то левая часть равенства иррациональна, а правая рациональна, что невозможно. То есть мы пришли к противоречию, а значит :
Таким образом:
Аналогично, доказывается, что если корень данного уравнения, то и
корень этого уравнения.
Таким образом, мы доказали, что если корень уравнения
, то и
корень данного уравнения и наоборот. Аналогично доказывается этот факт и для уравнения:
.
А значит, данные кубические многочлены имеют еще один общий иррациональный корень.
Что и требовалось доказать.