Question

Решите уравнение (ответ отмечен, нужно решение)

Answer 1

Ответ:

x=-2

Пошаговое объяснение:

$\[\begin{array}{l}\sqrt {12 + \sqrt {12 + \sqrt {20 + 4x + {x^2}} } } = {x^2} + 4x + 8\\\sqrt {20 + 4x + {x^2}} = t\\\sqrt {12 + \sqrt {12 + t} } = {t^2} - 12\end{array}\]$

Заметим, что левая функция всегда неотрицательная, а у правой функции в неотрицательную область попаает только одна ветвь параболы. (т.к. $\[t \ge 0\]$ )

Значит у функций будет одно пересечение(т.е. одно решение), которое не сложно подобрать при t=4.

$\[t = 4\, \Rightarrow \,\sqrt {20 + 4x + {x^2}} = 4 \Rightarrow 20 + 4x + {x^2} = 16 \Rightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x = - 2\]$

Answer 2

Ответ: $x=-2$

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt[]{20+4x+x^2} } } =x^2+4x+8\\x^2+4x+8 = (x+2)^2+4 = t\geq4 \\\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt[]{12+t} } } = t$

Пусть:

$f(g) =\sqrt{12+g}$

Тогда уравнение принимает вид:

$f(f(f(t))) = t$    

Заметим, что если $t_{0}$ корень уравнения $f(t) = t$ , то он и корень уравнения:

$f(f(f(t))) = t$ , действительно:

$f(t_{0} ) = t_{0}\\f(f(t_{0})) = f(t_{0}) =t_{0}\\f(f(f(t_{0})))= f(f(t_{0}))= t_{0}$

Найдем все такие корни:

$\sqrt{12+t} =t\\t\geq0 \\12+t =t^2\\t^2-t-12=0\\t_{1} =4\\t_{2} =-3<0\\(x+2)^2+4=4\\(x+2)^2=0\\x=-2$

Заметим, что функция $f(g)$ - монотонно возрастает.    

Предположим, что в уравнении  $f(f(f(t))) = t$  существует корень $t_{1}$ , такой, что  $f(t_{1} } )\neq t_{1}$

Рассмотрим случай:  $f(t_{1} }) >t_{1}$ .

Поскольку, $f(g)$ - монотонно возрастает, то если для некоторых двух ее аргументов выполнено неравенство: $g_{1} >g_{2}$ , то верно и данное неравенство: $f(g_{1} )>f(g_{2} )$

Из данного утверждения следует, что :

$f(f(t_{1} })) >f(t_{1})>t_{1}\\f(f(f(t_{1} }))) >f(f(t_{1}))>f(t_{1})>t_{1}$

Но  $f(f(f(t_{1} }))) =t_{1}$ , то есть мы пришли к противоречию.

Аналогично показывается невозможность утверждения для случая

$f(t_{1} }) <t_{1}$ .  Таким образом, других корней помимо $x=-2$ нет.