Найдите наименьшее расстояние между графиками функция y = -x+1 и y = x^2-5x+6
Ответы
Даны парабола y = x² - 5х + 6 и прямая y = -x + 1.
Вычтем первого уравнения второе и получим функцию зависимости расстояния по оси «у» между заданными линиями:
f(x) = x² - 4x + 5.
Найдём производную этой функции для определения экстремума.
f'(x) = 2x - 4.
Приравняем нулю:
2х - 4 = 0.
х = 4/2 = 2.
Найдём знаки производной f'(x) = 2x - 4.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точка минимума.
х = 1 2 3
y' = -2 0 2.
Поэтому в точке х = 2 имеем минимум функции.
Если по оси у расстояние между линиями минимально, то оно и по оси х будет тоже минимальным.
Находим вертикальное расстояние по разности ординат:
параболы у(2) = 2² *5*2 + 6 = 0,
прямой у(2) = -1*2 + 1 = -1.
Δу = 0-(-1) = 1.
Расстояние d по перпендикуляру к прямой равно:
d = Δy*cos α.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен -1 (по уравнению у = кх + в, где к это тангенс угла).
cos α = 1/√(1+tg²α) = 1/√(1+1) = 1/√2 = √2/2.
Отсюда получаем ответ:
d = 1*(√2/2) = √2/2 ≈ 0,7071.
Аналогичный ответ можно получить, если точку минимального расстояния от параболы до прямой найти с помощью касательной, угловой коэффициент (и значение производной) которой равен -1 (как у заданной прямой).
Получаем 2х - 5 = -1, х = 4/2 = 2. Это точка с минимальным расстоянием до прямой у = -х + 1.
Далее через точку х = 2 проводим нормаль к прямой и ищем точку пересечения. По разности координат находим длину перпендикуляра - то есть наименьшего расстояния.
