Question

13.Визначити квадрат відстані між точками перетину кривих: 2x2+5xy−18y2 =0 і xy+y2=12

Answer 1

Найдем точки пересечения кривых.

Решаем систему уравнений:

$\left \{ {{2x^2+5xy-18y^2 =0} \atop { xy+y^2=12}} \right.$

Разложим первое уравнение уравнение на множители:

$2x^2+5xy-18y^2=2x^2+9xy-4xy-18y^2=x(2x+9y)-2y(2x+9y)=\\\\=(2x+9)(x-2y)$

$\left \{ {{(2x+9y)(x-2y) =0} \atop {xy+y^2=12}} \right.$

$\left \{ {{2x+9y =0} \atop {xy+y^2=12}} \right.$                      или     $\left \{ {{x-2y=0} \atop {xy+y^2=12}} \right.$

$\left \{ {{x=-\frac{9}{2}y } \atop {-\frac{9}{2} y\cdot y+y^2=12}} \right.$                 или     $\left \{ {{x=2y} \atop {2y\cdot y+y^2=12}} \right.$

$\left \{ {{x=-\frac{9}{2}y } \atop {-\frac{7}{2} y^2=12}} \right.$                       или     $\left \{ {{x=2y} \atop {3y^2=12}} \right.$

не имеет решений      или   $\left \{ {{x=2\cdot 2 } \atop {y=2}} \right.$   или     $\left \{ {{x=2\cdot (-2) } \atop {y=-2}} \right.$

Две точки пересечения

A(4;2) и В (-4;-2)

AB²  =  $(-4-4)^2+(2-(-2))^2=(-8)^2+4^2=64+16=80$

О т в е т. 80