Question

В окружности X проведены хорда AB и вторая окружность E, которая касается хорды AB и окружности X в точках C и D . Докажите, что прямая CD содержит середину одной из дуг окружности X с концами A, B.

Answer 1

См. рисунок.

Обозначим центр малой окружности через $O_1$. Если окружность касается хорды, то по свойствам касательной радиус окружности перпендикулярен хорде в этой точке: $O_1C \perp AB$.

Если отрезок перпендикулярен хорде, то при их пересечении он делит хорду пополам (это теорема, которую изучают в школе). Значит, точка $C$ — середина хорды $AB$. Треугольник $\triangle ABO$ равнобедренный (поскольку отрезки $AO$ и $OB$ равны как радиусы). Значит, медиана $OC$ является также и высотой. Получим, что $OC \perp AB$. Учитывая предыдущее равенство, получим, что $O_1C \, || \,OC$. Это значит, что точки $C, O$ и $O_1$ лежат на одной прямой. Тогда на той же прямой лежит точка касания $D$ (ведь по условию она диаметрально противополож