Question

В треугольнике ABC провели биссектрису BL. Оказалось, что AB•BC=AL•AC. Докажите, что треугольник ABL – равнобедренный.

Answer 1

Пусть $\angle ABL=\angle LBC=\alpha$ (так как $BL$ — биссектриса).

По свойству биссектрисы $AL:CL=AB:BC$. Выразив отсюда AL и подставляя в условное равенство, получаем $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CL}{BC}$. Следовательно, $\triangle ABC\sim \triangle BLC$ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Из равенства соответствующих углов в подобных треугольниках получаем $\angle BAC=\angle LBC=\angle ABL=\alpha$, откуда $\triangle ABL$ — равнобедренный.