Question

в треугольнике abc на стороне ав взяты точки m и n, а на сторонах bc и ac взяты точки P и q так что четырехугольник mnpq zskztncz параллелограммом, площадь которого составляет 4/9 площади треугольника abc, найдите длину cтороны ab если mn=1

Answer 1

Можно конечно эту задачу решить , через коэффициент подобия как то. Но можно еще так поступить .
Пусть наш треугольник $ABC$ , и точки $M,N$ на стороне  $AC$  , и точки  $Q,P$ на сторонах  $AB,BC$ соответственно . 
 Тогда очевидно что треугольники $BPQ$ и $ABC$  подобны друг другу. Так как $PQ||MN$ ,  выведем некие следствия из подобия: 
 $frac{QP}{AB}=frac{QC}{AC}=frac{CP}{BC}$  , или же это соотношение можно записать так , выражая отрезки  
$frac{QP}{AB}=frac{CQ}{AQ+CQ}\ frac{QP}{AB}=frac{CP}{CP+BP}$
Теперь выразим стороны $PQ,AB$  по теореме косинусов 
$CQ^2+CP^2-2*CQ*CP*cosC=1^2\ AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC=AB^2$
выражая с них  $cosC$  и приравнивая получим:
$frac{(AM+NB+1)^2-(AQ+CQ)^2-(CP+PB)^2}{(AQ+CQ)(CP+BP)}=frac{1-CQ^2-CP^2}{CQ*CP}$
сделаем замену для простоты и преобразуем эту часть
$AQ=x\ QC=y\ CP=z\ BP=w\ AM=g\ NB=h \ frac{(g+h+1)^2-(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}=frac{1-y^2-z^2}{yz}\ frac{y}{x+y}=frac{z}{z+w}\ wy=zx\ y=frac{zx}{w}$
Теперь подставим в начальное выражение 
$frac{(g+h+1)^2-(x+frac{zx}{w})^2-(z+w)^2}{(x+frac{zx}{w})(z+w)}-frac{(1-frac{zx}{w})^2-z^2}{frac{z^2x}{w}}=0$
теперь разложим на множители , и затем приравнивая к 0 каждый многочлен получим 
$hz+gz-w=0\ hz+gz+2z+w=0$
второй не подходит 
$hz+gz=w\ h+g=frac{w}{z}\ AM+NB=frac{BP}{CP}$   в дальнейшем это соотношение понадобится 
Теперь подставим еще раз в самое начальное выражение получим  
$(frac{w}{z}+1)^2+(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}-frac{1-y^2-z^2}{yz}=0\ z^3+wz^2-y^2z-xyz-z-w=0\ z^3+wz^2-(frac{zx}{w})^2*z-x*frac{zx}{w}*z-z-w = 0\ x^2z^2-w^2z^2+w^2=0\ x^2z^2=w^2(z^2-1)$
Теперь заметим соотношение $frac{xz}{w}=y$ тогда 
$y^2=z^2-1\ y^2+1=z^2$ то есть  треугольник выходит прямоугольный при наличии именно определенного соотношения!  Тогда 
$CQP=90а$    тогда и $CAB=90а$                                        
 Найдем угол C 
$CP=frac{QP}{sinC}\ sinC=frac{1}{CP}\ QP=1\ cosP=frac{1}{CP}$
Теперь так как сам треугольник прямоугольный , то высота параллелограмма  $MNPQ$ будет сторона $AQ$, а так как площадь  параллелограмма равна основание на высоту опущенную на нее, то  площадь параллелограмма равна $S_{MNPK}=AQ*1=AQ$, и она равна 
$AQ=frac{4S}{9}$ 
площадь прямоугольного треугольника АВС равна 
$frac{AB*AC}{2}=frac{9AQ}{4}\ AB*AC=frac{9AQ}{2}\ (AQ+QC)(1+frac{BP}{CP})=frac{9AQ}{2}$ , но так как $frac{BP}{CP}=frac{AQ}{CQ}$ то 
 $frac{9AQ}{2}=(AQ+CQ)(1+frac{AQ}{CQ})$  с него следует 
$AQ=frac{CQ}{2}$ . Тогда 
$2AQ=CQ\ CQ+frac{CQ}{2}=frac{3CQ}{2}=AC\ frac{CQ}{frac{3CQ}{2}}=frac{2}{3}$ , то есть коэффициент подобия     равен $frac{2}{3}<1$ верно ! тогда $frac{1}{AB}=frac{2}{3}\ AB=1.5$