Question

Упростить выражение и вычислить .
$(x^{4} - 7x^{2} + 1)^{-2} ((x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 14(x + \frac{1}{x}) + 77); x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ пусть $z = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (z^{2} - 2), 14z^{2}$...

Интересует эта часть $z = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (z^{2} - 2)$ Может кто-нибудь более подробно объяснить, как это так получается?

Answer 1

Там используется формула сокращенного умножения

$(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}$

Попробуем от $z^{2} -2$ перейти к первоначальному виду. Вместо z сразу запишу $z = x + \frac{1}{x}$ :

$(x+\frac{1}{x})^{2} - 2$

Далее по формуле сокращенного умножения раскрою квадрат скобки:

$(x+\frac{1}{x} )^{2} -2=(x^{2} +2x*\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} }) -2=x^{2} +2+\frac{1}{x^{2} }-2=x^{2} +\frac{1}{x^{2} }$

И как видно, получили то, что было изначально. Т.е $z^{2}$ там раскрываем по формуле сокращенного умножения, но при этом вылезает ненужный элемент в виде $2x*\frac{1}{x} =2$, и чтобы от него избавиться вычитаем двойку из $z^{2}$