Question

решите пожалуйста систему, даю 30 балов

Answer 1

Ответ: $(\frac{5}{9} ;\frac{1}{9} )$

Объяснение:

$\left \{ {{2x^2+4xy+11y^2\leq 1} \atop {4x+7y\geq 3}} \right.\\\left \{ {{2(x+y)^2 +(3y)^2\leq 1} \atop {4x+7y\geq 3}} \right.\\\sqrt{2} (x+y)=a\\3y=b\\ \left \{ {{a^2 +b^2\leq 1} \atop {2\sqrt{2}a +b \geq 3}} \right.$

Нарисуем в системе координат a,b область, указанную системой.

$a^2+b^2\leq1$ - представляет собой цельный круг  радиуса $1$ в начале координат, включая окружность (красная заливка)

$2\sqrt{2}a+b\geq 3$ - это область НЕ НИЖЕ прямой $b= 3-2\sqrt{2}a$ (зеленая штриховка)

Определим в скольких точках данная прямая пересекается с окружностью, для этого подставим :

$b=3-2\sqrt{2}a \\a^2+( 3-2\sqrt{2} a)^2 = 1\\9a^2-12\sqrt{2}a +8 = 0\\\frac{D}{4} = 72-72 = 0\\a= \frac{6\sqrt{2} }{9} } = \frac{2\sqrt{2} }{3} }\\b = 3 - \frac{8}{3} =\frac{1}{3}$

Как видим, они имеют одну точку пересечения, иначе говоря, прямая касается окружности. Из рисунка видно, что решение системы это только данная точка пересечения.

Вернемся к замене:

$y=\frac{b}{3} =\frac{1}{9}\\x+y =\frac{a}{\sqrt{2} } = \frac{2}{3} \\x=\frac{2}{3} -\frac{1}{9} = \frac{5}{9}$