Question

Доказать, что при отражении светового луча от плоского зеркала между единич­ными векторами n, нормалью к плоскости зеркала, и единичными векторами вдоль па­дающего и отраженного лучей, e1 и e2 (см. рис.), выполняется соотношение e2=e1 - 2(e1,n)n.

Answer 1

Прежде всего выпишем координаты всех векторов:

$\displaystyle \vec{e_1}=\left[\begin{array}{c}4/5&-3/5\end{array}\right]$

$\displaystyle \vec{e_2}=\left[\begin{array}{c}4/5&3/5\end{array}\right]$

$\displaystyle \vec{n}=\left[\begin{array}{c}0&1\end{array}\right]$

Раскроем скалярное произведение:

$\displaystyle (\vec{e_1},\vec{n})=\vec{e_1}^T\vec{n}=\left[\begin{array}{cc}4/5&-3/5\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1\end{array}\right] =-3/5$

Умножим удвоенное скалярное произведение на вектор нормали:

$\displaystyle -2*\frac{3}{5}*\left[\begin{array}{c}0&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0&-6/5\end{array}\right]$

Сложим вектор е₁ с найденным вектором:

$\displaystyle \left[\begin{array}{c}4/5&-3/5\end{array}\right] -\left[\begin{array}{c}0&-6/5\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}4/5&3/5\end{array}\right]=\vec{e_2}$

Что и требовалось доказать.