Question

Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n k^\alpha}{n^2}, \alpha\ \textless \ 1$

Answer 1

Ответ:

0.

Пошаговое объяснение:

Обозначим

$x_n=\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha \\y_n=n^2$

Очевидно, $y_n$ возрастает и при этом множество членов этой последовательности неограниченно сверху.

Вычислим предел $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, учитывая что $\alpha -1<0$:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha - \sum\limits_{k=1}^{n-1}k^\alpha }{n^2-(n-1)^2} =\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^\alpha }{2n-1} =\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^{\alpha-1} }{2-\frac{1}{n} }=0$

Этот предел существует, поэтому, по теореме Штольца, искомый предел также равен нулю.