Question

В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью v 0. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения s? В нулевой момент времени сосуд пуст.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle v(t)=\frac{\pi v_0^3tg^2\alpha }{s}t^2$

Объяснение:

Подождем малый промежуток времени dt, тогда объем воды dV вышедший из трубы:

$\displaystyle dV=Qdt=v(t)sdt$

Тот же объем вызовет повышение уровня в коническом сосуде на dz:

$\displaystyle dV=S(z)dz$

Зависимость площади сечения сосуда от его высоты легко найти из геометрических соображений:

$\displaystyle S(z)=\pi R(z)^2=\pi z^2tg^2\alpha$

Тогда:

$\displaystyle dV=\pi z^2tg^2\alpha dz$

Приравнивая первое и второе выражения, получим:

$\displaystyle v(t)sdt=\pi z^2tg^2\alpha dz$

Разделим обе части на sdt и учтем, что dz/dt и есть скорость подъема воды в сосуде:

$\displaystyle v(t)=\frac{\pi z^2tg^2\alpha }{s}\frac{dz}{dt}=\frac{\pi z^2tg^2\alpha v_0}{s}$

Наконец, учтем что z=v₀t:

$\displaystyle v(t)=\frac{\pi v_0^3tg^2\alpha}{s}t^2$.