Question

Окружность с центром на медиане AD треугольника ABC проходит через вершину A и касается стороны BC в точке B. Найти углы треугольника ABC, если известно, что окружность делит AD в отношении 1:8, считая от D

Answer 1

Пусть диаметр окружности 8, тогда OA=OB=4, OA/OD=4/5

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, OBC=90.

Треугольник ODB - египетский (стороны относятся 3:4:5).  

Опустим перпендикуляр AE на продолжение BC.

Треугольник ADE - египетский (ADE~ODB), AE/ED=4/3

BD =5/9 ED (теорема Фалеса) =DC => EC =(1 +5/9) ED =14/9 ED

AE/EC =4/3 *9/14 =6/7 =tg(C)

EB =4/9 ED

AE/EB =4/3 *9/4 =3 =tg(ABE) => tg(ABC)= -3  

tg(BAC) = -tg(C+ABC) = -(6/7 -3)/(1 +3*6/7) =3/5