Question

Найдите количество корней уравнения 1−tg2x=0, принадлежащих промежутку [0°; 360°]

Answer 1

$1-\mathrm{tg}2x=0$

$\mathrm{tg}2x=1$

$2x=\mathrm{arctg}1+\pi n$

$2x=\dfrac{\pi}{4} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Найдем количество корней, принадлежащих промежутку $[0;\ \pi]$.

$0\leq \dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi n}{2}\leq \pi$

$0\leq \dfrac{1}{8} +\dfrac{n}{2}\leq 1$

$-\dfrac{1}{8}\leq \dfrac{n}{2}\leq 1-\dfrac{1}{8}$

$-\dfrac{1}{8}\leq \dfrac{n}{2}\leq \dfrac{7}{8}$

$-\dfrac{1}{8}\cdot2\leq n\leq \dfrac{7}{8}\cdot2$

$-\dfrac{1}{4}\leq n\leq \dfrac{7}{4}$

Целых чисел n, принадлежащие указанному отрезку два: 0 и 1. Значит, уравнение имеет два корня, принадлежащих заданному промежутку.

Ответ: 2